Zahlensysteme

Warum gibt es verschiedene Zahlensysteme?

Menschen zählen mit 10 Fingern – deshalb nutzen wir das Dezimalsystem mit den Ziffern 0 bis 9. Computer hingegen kennen nur zwei Zustände: Strom an oder Strom aus – also 1 oder 0. Deshalb arbeiten Computer intern immer mit dem Binärsystem.

Hexadezimal wurde eingeführt weil Binärzahlen sehr lang werden können – die Zahl 255 sieht im Binärsystem so aus: 11111111. Hexadezimal fasst je 4 Bit zu einer kompakteren Darstellung zusammen und wird überall in der IT verwendet: MAC-Adressen, IPv6, Farben, Speicheradressen und mehr.

Das Dezimalsystem (Basis 10)

Das Dezimalsystem ist unser Alltagssystem. Es hat die Basis 10 und verwendet die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jede Stelle ist eine Zehnerpotenz:

  1  2  3  4
  │  │  │  └── 4 × 10⁰ =    4
  │  │  └───── 3 × 10¹ =   30
  │  └───────── 2 × 10² =  200
  └──────────── 1 × 10³ = 1000
                          ────
                          1234

Das Binärsystem (Basis 2)

Das Binärsystem hat die Basis 2 und verwendet nur die Ziffern 0 und 1 – diese nennt man Bit. Jede Stelle ist eine Zweierpotenz:

  1  0  1  1
  │  │  │  └── 1 × 2⁰ = 1
  │  │  └───── 1 × 2¹ = 2
  │  └───────── 0 × 2² = 0
  └──────────── 1 × 2³ = 8
                         ─
                         11 (dezimal)

Die Zweierpotenzen die du auswendig kennen solltest:

Das Hexadezimalsystem (Basis 16)

Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16 und verwendet die Ziffern 0–9 und die Buchstaben A–F:

Hexadezimalzahlen werden oft mit dem Präfix 0x geschrieben um sie von Dezimalzahlen zu unterscheiden: 0xFF = 255 dezimal.

Umrechnung: Dezimal → Binär

Die einfachste Methode ist die Division durch 2. Teile die Zahl immer wieder durch 2 und notiere den Rest. Der letzte Rest ist die höchstwertige Stelle.

Beispiel: 42 → Binär

42 ÷ 2 = 21  Rest 0
21 ÷ 2 = 10  Rest 1
10 ÷ 2 =  5  Rest 0
 5 ÷ 2 =  2  Rest 1
 2 ÷ 2 =  1  Rest 0
 1 ÷ 2 =  0  Rest 1

Reste von unten nach oben lesen: 101010

42 (dez) = 00101010 (bin)

Probe: 32 + 8 + 2 = 42 ✓

Umrechnung: Binär → Dezimal

Multipliziere jede Stelle mit der entsprechenden Zweierpotenz und addiere alle Ergebnisse:

Beispiel: 11001010 → Dezimal

Stelle:   7    6    5    4    3    2    1    0
Bit:      1    1    0    0    1    0    1    0
Potenz:  128   64   32   16    8    4    2    1

1×128 + 1×64 + 0×32 + 0×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1
= 128 + 64 + 8 + 2
= 202

11001010 (bin) = 202 (dez)

Umrechnung: Dezimal → Hexadezimal

Teile die Zahl durch 16 und notiere den Rest. Reste über 9 werden als Buchstaben dargestellt (10=A, 11=B, ..., 15=F).

Beispiel: 202 → Hexadezimal

202 ÷ 16 = 12  Rest 10 → A
 12 ÷ 16 =  0  Rest 12 → C

Reste von unten nach oben lesen: CA

202 (dez) = CA (hex) = 0xCA

Probe: C × 16 + A = 12 × 16 + 10 = 192 + 10 = 202 ✓

Umrechnung: Hexadezimal → Dezimal

Multipliziere jede Stelle mit der entsprechenden 16er-Potenz:

Beispiel: 0x1F → Dezimal

Stelle:  1    0
Hex:     1    F
Potenz: 16¹  16⁰

1×16 + 15×1
= 16 + 15
= 31

0x1F (hex) = 31 (dez)

Umrechnung: Binär → Hexadezimal

Das geht besonders einfach: Teile die Binärzahl in 4-Bit-Gruppen auf (von rechts) und wandle jede Gruppe einzeln um:

Beispiel: 11001010 → Hexadezimal

1100  1010
 │      └── 1010 = 10 = A
 └───────── 1100 = 12 = C

11001010 (bin) = CA (hex) = 0xCA

Umrechnung: Hexadezimal → Binär

Umgekehrt: Wandle jede Hex-Stelle einzeln in 4 Bit um:

Beispiel: 0xB4 → Binär

B    4
│    └── 4 = 0100
└─────── B = 11 = 1011

0xB4 (hex) = 1011 0100 (bin)

Zahlensysteme in der IT – Wo begegnen sie uns?

Zusammenfassung

• Computer arbeiten intern mit dem Binärsystem (Basis 2) – nur 0 und 1

• Das Dezimalsystem (Basis 10) ist unser Alltagssystem

• Hexadezimal (Basis 16) fasst je 4 Bit kompakt zusammen

• Dezimal → Binär: Division durch 2, Reste von unten lesen

• Binär → Dezimal: Zweierpotenzen multiplizieren und addieren

• Binär → Hex: 4-Bit-Gruppen einzeln umwandeln

• Hex → Binär: Jede Hex-Stelle in 4 Bit umwandeln

• Hexadezimal begegnet uns bei MAC-Adressen, IPv6, Farben und Speicheradressen